Integral ln(ln x)/x ln x dx

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »     ›  

Tentukan hasil dari \( \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \ dx = \cdots \ ? \)

Pembahasan:

Kita akan gunakan teknik integral substitusi secara berulang untuk menyelesaikan integral ini. Pertama, misalkan \(u = \ln x\) sehingga kita dapatkan berikut ini:

\[ u = \ln x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \Rightarrow du = \frac{1}{x} \ dx \]

Dengan substitusi hasil di atas ke dalam soal integral, sehingga:

\begin{aligned} \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \ dx &= \int \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \ dx \\[8pt] &= \int \frac{\ln u}{u} \ du \end{aligned}

Selanjutnya, kita akan menyelesaikan \( \int \frac{\ln u}{u} \ du \). Kita bisa selesaikan integral ini menggunakan teknik integral substitusi sekali lagi. Misalkan \( t = \ln u \) sehingga,

\[ t = \ln u \Leftrightarrow \frac{dt}{du} = \frac{1}{u} \Rightarrow dt = \frac{1}{u} \ du \]

Dengan demikian, kita peroleh hasil penyelesaian integral sebagai berikut:

\begin{aligned} \int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} \ dx &= \int \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} \ dx = \int \frac{\ln u}{u} \ du \\[8pt] &= \int t \ dt = \frac{1}{2}t^2 + C \\[8pt] &= \frac{1}{2} (\ln u)^2 + C \\[8pt] &= \frac{1}{2} \left( \ln (\ln x) \right)^2 + C \end{aligned}